Name

KAJI, Hajime

Official Title

Professor

Affiliation

(School of Fundamental Science and Engineering)

Contact Information

URL

Web Page URL

http://pc193097.pc.waseda.ac.jp/

Grant-in-aids for Scientific Researcher Number
70194727

Sub-affiliation

Sub-affiliation

Faculty of Science and Engineering(Graduate School of Fundamental Science and Engineering)

Affiliated Institutes

理工学総合研究センター

兼任研究員 1989-2006

理工学術院総合研究所(理工学研究所)

兼任研究員 2006-2018

理工学術院総合研究所(理工学研究所)

兼任研究員 2018-

Educational background・Degree

Degree

Master of Science Coursework Waseda University Algebra

Doctor of Science Coursework Waseda University Algebra

Career

1987-1989Waseda University, Research Assistant
1989-1993Yokohama City University, Research Assistant
1993-1999Waseda University, Associate Professor
1999-Waseda University, Professor

Research Field

Keywords

Algebraic Geometry

Grants-in-Aid for Scientific Research classification

Mathematical and physical sciences / Mathematics / Algebra

Mathematical and physical sciences / Mathematics / Geometry

Paper

Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero

S. Fukasawa, K. Furukawa, H. Kaji

Advances in Mathematics 224p.2645 - 26612010-

DOI

Any algebraic variety in positive characteristic admits a projective model with inseparable Gauss map

S. Fukasawa, H. Kaji

Journal of Pure and Applied Algebra 214p.297 - 3002010-

The separability of the Gauss map versus the reflexivity

H. Kaji

Geometriae Dedicata "the Proceedings of the IV Iberoamerican Conference on Complex Geometry (Ouro Preto, Minas Gerais, Brasil, August 12--18, 2007)" 139p.75 - 822009-

The reflexivity of a Segre product of projective varieties

S. Fukasawa, H. Kaji

Math. Annalen 342p.279 - 2892008-

Existence of a non-reflexive embedding with birational Gauss map for a projective variety

S. Fukasawa, H. Kaji

Math. Nachrichten. 281p.1412 - 14172008-

The separability of the Gauss map and the reflexivity for a projective surface

S. Fukasawa, H. Kaji

Math. Zeitschrift 256p.699 - 7032007-

The classification of orbits by a natural action of certain reductive linear groups

H. Kaji, O. Yasukura

Yokohama Math. J. 53p.39 - 612006-

公開鍵暗号を解読せよ!—君もスパイになれる?—

楫 元

日本数学会「数学通信」 10(2) p.5 - 372005/08-

Projective geometry of Freudenthal's varieties of certain type

H.Kaji, O.Yasukura

Michigan Mathematical Journal 52p.515 - 5422004-

On the duals of Segre varieties

H.Kaji

Geometriae Dedicata 99p.221 - 2292003-

エンピツ片手にテキストを読もう[ブックガイド]代数

楫 元

数学セミナー/日本評論社 42(8) p.34 - 352003/08-

Outside In (Delle Maxwell, Silvio Levy, Tamara Munzner監督; Minnesota Geometry Center制作)

楫 元

数学セミナー/日本評論社 39(9) p.85 - 852000/09-

Secant varieties of adjoint varieties---orbit decomposition---

H.Kaji, O.Yasukura

J. Algebra 227p.26 - 442000-

Tangent loci and certain linear sections of adjoint varieties

H.Kaji, O.Yasukura

Nagoya Math. J. 158p.65 - 722000-

アレフゼロ・ホテル?無限ホテル業界の軌跡?

楫 元

数学セミナー/日本評論社 38(9) p.27 - 311999/08-

Homogeneous projective varieties with degenerate secants

H.Kaji

Trans. Amer. Math. Soc. 351p.533 - 5451999-

Adjoint varieties and their secant varieties

H.Kaji, M.Ohno, O.Yasukura

Indag. Math. 10p.45 - 571999-

Secant varieties of adjoint varieties

H.Kaji

Matem?tica Contempor?nea 14p.75 - 871998-

On the generic injectivity of the Gauss map in positive characteristic

H.Kaji, A.Noma

J. reine angew. Math. 482p.215 - 2241997-

標数pの世界

楫 元

数理科学/サイエンス社 3691994/03-

On the space curves with the same dual variety

H. Kaji

J. Reine Angew. Math. 437p.1 - 111993-

On the space curves with the same image under the Gauss map

H. Kaji

Manuscripta Math. 80p.249 - 2581993-

Characterization of space curves with inseparable Gauss maps in extremal cases

H. Kaji

Arch. Math. (Basel) 58p.539 - 5461992-

On the inseparable degrees of the Gauss map and the projection of the conormal variety to the dual of higher order for space curves

H. Kaji

Math. Ann. 292p.529 - 5321992-

Strangeness of higher order for space curves

H. Kaji

Comm. Algebra 20p.1535 - 15481992-

On the inseparable degree of the Gauss map of higher order for space curves

M. Homma, H. Kaji

Proc. Japan Acad. 68 Ser. A Math. Sci. 68(A) p.11 - 141992-

On the Gauss maps of space curves in characteristic p、II

H. Kaji

Compositio Math. 78p.261 - 2691991-

Examples of σ-transition matrices defining the Horrocks-Mumford bundle

H. Kaji

Tokyo J. Math. 12p.21 - 321989-

On the Gauss maps of space curves in characteristic p

H. Kaji

Compositio Math. 70p.177 - 1971989-

On the vector bundles whose endomorphisms yield Azumaya algebras of cyclic type

H. Kaji

J. Algebra 117p.297 - 3261988-

On the tangentially degenerate curves

H. Kaji

J. London Math. Soc. 33p.430 - 4401986-

On the normal bundles of rational space curves

H. Kaji

Math. Ann. 273p.163 - 1761985-

On tangentially non-degenerate plane curves

S. Arima, H. Kaji

Bull. Sci. Engrg. Res. Lab. Waseda Univ. 111p.43 - 431985-

On the tangentially degenerate curves, II

BULLETIN OF THE BRAZILIAN MATHEMATICAL SOCIETY 45(4) p.745 - 7522014-2014

DOIWoS

Detail

ISSN:1678-7544

Degree formula for Grassmann bundles

KAJI, Hajime

Journal of Pure and Applied Algebra Peer Review Yes 215p.5426 - 54282015-

Books And Publication

数学ガイダンスhyper

数学セミナー編集部 (編集)

日本評論社2005/03-

Detali

ISBN:978-4535784277

工科系のための初等整数論入門?公開鍵暗号をめざして?

楫 元

培風館2000/07-

Detali

ISBN:978-4563014858

Lecture And Oral

グラスマン束の次数公式と高次ガウス写像への応用

2015/03/17

Higher Gauss maps of Veronese varieties---a generalization of Boole's formula---

KAJI, Hajime

Mini-conference on Algebraic GeometryInvitation Yes2015/03/06

Detail

International conferenceOral presentation(invited, special)Venue:National Taiwan University

グラスマン束の次数公式(続)

Invitation Yes2014/09/29

グラスマン束の次数公式

2014/03/06

Detail

Oral presentation(general)

Degree formula for Grassmann bundles

Symposium on Projective, Algebraic Varieties and Moduli 2014 (in honor of Professor Changho Keem's 60th birthday), Seoul National University (Seoul, Korea).2014/02/13

Detail

Oral presentation(general)

グラスマン束の次数公式

2013/12/17

Detail

Oral presentation(general)

接的退化曲線について

2013/04/22

Detail

Oral presentation(general)

A tangential trisecant lemma

研究集会, ALGA-2012, the 12th Meeting of the Brazilian Group in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, IMPA (Rio de Janeiro, Brazil).2012/08/16

Detail

Oral presentation(general)

A tangential trisecant lemma

2012/03/16

Detail

Oral presentation(general)

A tangential trisecant lemma

Symposium on Projective Algebraic Varieties and Moduli, Novotel Ambassador (Busan, Korea)2012/02/13

Detail

Oral presentation(general)

Homogeneous projective varieties with unique secant property

2011/11/09

Detail

Oral presentation(general)

随伴多様体の射影幾何的魅力

2011/03

Detail

Oral presentation(general)

Gauss maps in positive characteristic

Algebra Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea).2010/09

Detail

Oral presentation(general)

Gauss maps in positive characteristic

研究集会, ALGA-2010, the Tenth Meeting of the Brazilian Group in Commutative Algebra and Algebraic Geometry, IMPA (Rio de Janeiro, Brazil).2010/07

Detail

Oral presentation(general)

Gauss maps in positive characteristic

Workshop ''2010 Algebra and Geometry of Subvarieties of Projective Space (in honor of Professor Fyodor Zak on his 60th birthday),'' KAIST (Daejeon, KOREA).2010/01

Detail

Oral presentation(general)

Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero

2009/11

Detail

Oral presentation(general)

Projective varieties admitting an embedding with Gauss map of rank zero (深澤知氏, 古川勝久氏との共同講演),

2009/09

Detail

Oral presentation(general)

Any algebraic variety in positive characteristic admits a projective model with inseparable Gauss map (深澤知氏との共同講演)

日本数学会秋期総合分科会, 大阪大学.2009/09

Detail

Oral presentation(general)

Orbit decomposition of secant varieties of adjoint varieites

2009/09

Detail

Oral presentation(general)

Gauss maps in positive characteristic

2009/09

Detail

Oral presentation(general)

The generic smoothness of the Gauss map versus the reflexivity

2009/02

Detail

Oral presentation(general)

The generic smoothness of the Gauss map versus the reflexivity

2008/10

Detail

Oral presentation(general)

The reflexivity of a Segre product of projective varieties

2008/09

Detail

Oral presentation(general)

Existence of a non-reflexive embedding with birational Gauss map for a projective variety

2008/09

Detail

Oral presentation(general)

Projective varieties with degenerate secant varieties

2008/06

Detail

Oral presentation(general)

Existence of a nonreflexive embedding with birational Gauss map for a projective variety

International Conference "IV Iberoamerican Conference on Complex Geometry", (Brasil, Ouro Preto)2007/08

Detail

Oral presentation(general)

Existence of a nonreflexive embedding with birational Gauss map for a projective variety

Seminario de Algebra "Sun from Japan", IMPA (Brasil, Rio de Janeiro).2007/08

Detail

Oral presentation(general)

Projective varieties with degenerate secant varieties

Colloquium, National Institute for Mathematical Sciences (Daejeon, Korea)2007/06

Detail

Oral presentation(general)

Projective varieties with degenerate secant varieties

Algebraic Geometry Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea)2007/06

Detail

Oral presentation(general)

Projective geometry of adjoint varieties

Algebraic Geometry Seminar, Seoul National University (Seoul, Korea)2007/06

Detail

Oral presentation(general)

The separability of the Gauss map and the reflexivity for a projective surface

2006/09

Detail

Oral presentation(general)

Research Grants & Projects

Grant-in-aids for Scientific Research Adoption Situation

Research Classification:

Projective Algebraic Geometry in Positive Characteristic

2013/-0-2016/-0

Allocation Class:¥2990000

Research Classification:

Projective Algebraic Geometry in Positive Characteristic

2010/-0-2013/-0

Allocation Class:¥2990000

Research Classification:

On secant varieties of projective varieties

Allocation Class:¥2080000

Research Classification:

Real analytic approach to the stability theory of nonlinear evolution equations

2000-2003

Allocation Class:¥14600000

Research Classification:

Research on homogeneous projective varieties by Lie algebra and algebraic geometry

Allocation Class:¥3200000

Research Classification:

An application of real aualytical wethad to nonlinear evolution eguations

Allocation Class:¥13700000

Research Classification:

Boundary conditions for gavge coupled Dirac operators and their invariants.

Allocation Class:¥2800000

On-campus Research System

Special Research Project

等質射影多様体のLie環論的、表現論的、および、代数幾何的研究

2006

Research Results Outline:福井大学の保倉理美氏との共同研究により, ある種のreductive代数群の自然な作用に関する軌道分解について研究を行なった. 詳しくは, n次複素回福井大学の保倉理美氏との共同研究により, ある種のreductive代数群の自然な作用に関する軌道分解について研究を行なった. 詳しくは, n次複素回転群とm次一般線型群の直積, SO(n) x GL(m) の, n行m列複素行列空間 M(n,m)...福井大学の保倉理美氏との共同研究により, ある種のreductive代数群の自然な作用に関する軌道分解について研究を行なった. 詳しくは, n次複素回転群とm次一般線型群の直積, SO(n) x GL(m) の, n行m列複素行列空間 M(n,m) への自然な作用による軌道分解を調べた. この概均質ベクトル空間に関する軌道分解は, すでに, 佐藤幹夫氏, 柏原正樹氏, 木村達雄氏, 大島利雄氏による著名な論文(M.Sato, M.Kashiwara, T.Kimura, T.Oshima: Micro-local analysis of prehomogeneous vector spaces, Invent. Math. 62 (1980), 117-179) において一例として取上げられているが, 保倉氏との共同研究においてそこに誤りがあることを発見した. 上記の我々の成果はそれを修正し完全な軌道分解を与えたものである. 一方, 射影多様体のreflexivityとガウス写像の分離性との関係については, これも長年研究を続けているテーマであるが, 未解決のまま残っていた2次元の場合にその同値性を証明することができた. これは広島大学の深澤知氏との共同研究の成果である. 従来の自分の研究成果と深澤氏の研究成果と合わせると, 1次元と2次元の場合は同値であり, 3次元以上の場合はreflexiveならガウス写像は分離的であるが, 逆は成り立たず, 任意正標数, 任意次元(≧3)の反例が存在することが示された. したがって, 任意標数, 任意次元においてreflexivityとガウス写像の分離性との関係が明らかになったことになる (標数零の場合は同値であることが古くから知られている).

射影多様体の代数幾何学研究

1996

Research Results Outline: 一般に、射影多様体と整数d>1に対して、多様体上のd+1点の張るd次元射影部分空間すべての和集合を考え、その閉包で定まる新しい射影多様体をd-sec 一般に、射影多様体と整数d>1に対して、多様体上のd+1点の張るd次元射影部分空間すべての和集合を考え、その閉包で定まる新しい射影多様体をd-secant varietyという。それに付随して、その退化の度合をはかる不変量、d-secant de... 一般に、射影多様体と整数d>1に対して、多様体上のd+1点の張るd次元射影部分空間すべての和集合を考え、その閉包で定まる新しい射影多様体をd-secant varietyという。それに付随して、その退化の度合をはかる不変量、d-secant deficiencyが定まる。 研究代表者は、射影多様体が等質である場合、すなわち、代数群の有限次元既約表現から得られる場合のsecant varietyについて研究しており、昨年度はd=1の場合にsecant varietyの退化する射影多様体の分類を行ったが、今年度は主に、一般のduの場合にd-secant deficiencyの値について考察した。パソコンを用いるなどして実験的計算を行い、それを基にして、Al型の場合にいくつかのd-secant deficiencyに関する定理を得た。(計算データを基に一般の場合の命題を類推し、それに証明を与えた)。具体的には、射影空間のVeronese埋込、そして、Grassmann多様体のPlucker埋込について、d-secant deficiencyに関する公式を発見した。この結果は現在論文にまとめている最中である。 また、理工学部56号館において3月5日から8日まで、代数幾何学シンポジウム『射影多様体/代数多様体の射影幾何+特異点』(理工総研、数理科学:研究代表者、足立恒雄からの援助による)を開催した。代数幾何学者だけでなく、対称空間、Lie環、非結合的代数、可換的代数など、さまざまな分野の専門家が参加し、講演に対しては活発に質問コメントなどがなされ、非常に盛況だった。上記の研究成果はこのシンポジウムで講演発表した。

射影多様体の代数幾何的研究

1997

Research Results Outline:今年度は射影多様体の secant variety に関する研究を行った。特に射影多様体が随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる今年度は射影多様体の secant variety に関する研究を行った。特に射影多様体が随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体)の場合を中心に研究した。  この場合、代数群の射影空間への作用は線型であることから...今年度は射影多様体の secant variety に関する研究を行った。特に射影多様体が随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体)の場合を中心に研究した。  この場合、代数群の射影空間への作用は線型であることから直ちに、secant varietyも同じ代数群の作用を許すことがわかる。では、どのような軌道からsecant varietyが構成されているかが自然に問題となる。随伴多様体自身は明らかにその軌道のひとつである。昨年度は、secant variety の中で稠密となる軌道について明らかにした。今年度はそれら以外にも第3の軌道が存在することを、symplectic triple systems の理論 (浅野 洋氏; 横浜市立大学) を使うことにより示すことに成功した。 secant vareity の一般の点に対して、 その点を通る随伴多様体の射影空間に埋め込まれた接空間を考える。 その接点の全体のなす集合は随伴多様体の射影幾何学という立場からすると非常に興味深いが、今年度はその集合についての Lie 環論的特徴づけを発見した。 そこでは、 Lie 環に接触型次数構造を考えることが本質的であることがわかった。  以上の結果の証明において、 ある等質空間を考えることが重要となる。 その空間は、 H. Freudenthal のsymplectic geometry に対応する:因みに、 ここで中心に考えている随伴多様体は彼の meta-symplectic geometry に対応し、一方、secant varietyの著しく退化した射影多様体のクラスとして現れる Severi 多様体は彼の projective geometry に対応している。今年度は、その等質空間と随伴多様体との関連を明らかにした。実は、随伴多様体の、ある線型部分空間による断面としてその等質空間が現れることがわかった。 以上は、福井大学工学部、保倉理美氏との共同研究の成果であり、現在論文にまとめている最中である。 研究成果の発表: 1. Adjoint varieties and their secant varieties, Indag. Math. (to appear) 2. Secant varieties of adjoint varieties, MatemÁ tica Contempor nea (to appear) 3. Homogeneous projective varieties with degenerate secants, Trans. Amer. Math. Soc. (to appear)

等質射影多様体の Lie 環論的, および, 代数幾何的研究

1999

Research Results Outline: この数年間、等質射影多様体、特に、随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体) の研究を行っている。これは、H. F この数年間、等質射影多様体、特に、随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体) の研究を行っている。これは、H. Freudenthal の提唱するところの meta-symplectic geometry に相当... この数年間、等質射影多様体、特に、随伴多様体 (すなわち、複素単純代数群の随伴表現から得られる等質射影多様体) の研究を行っている。これは、H. Freudenthal の提唱するところの meta-symplectic geometry に相当する多様体であるが、symplectic geometry に相当する多様体として現れる等質射影多様体は、フロイデンタール多様体と呼ばれている。随伴多様体の研究を進めるにあたり、このフロイデンタール多様体を調べることが重要であることが、最近の研究から明らかになってきた。実際、1998年度の研究により、Lie環の接触型次数分解の次数1部分の定める部分空間と随伴多様体の交わりとしてフロイデンタール多様体が現れ、また、随伴多様体の secant variety の軌道分解を与える際にもこのフロイデンタール多様体、および、それを含む射影空間の考察が非常に重要であった。 そこで、1999年度は、このフロイデンタール多様体について詳しく研究を行った。その結果、フロイデンタール多様体の持ついくつかの顕著な射影幾何的性質を、symplectic triple system の理論の言葉で記述・証明することに成功した。これは、福井大学工学部、保倉理美氏との共同研究の成果である。 一方、射影幾何学的に重要な多様体のクラスのひとつに projective varieties with one apparent double point がある。1999年度は、多様体が等質の場合に、このクラスの多様体の分類を与えた。

Foreign Countries Research Activity

Research Project Title: 等質射影多様体の射影代数幾何的研究

2000/09-2001/08

Affiliation: IMPA(ブラジル)

Lecture Course

Course TitleSchoolYearTerm
Perspectives in Mathematical SciencesSchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Perspectives in Mathematical Sciences [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Mathematics B2 Kikan(5)School of Fundamental Science and Engineering2019full year
Seminar in Mathematics ASchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar in Mathematics A [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar in Mathematics BSchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar in Mathematics B [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Algebra C1School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Special Exercise on MathematicsSchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Algebra D2School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Supplementary Seminar in Mathematics ASchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Supplementary Seminar in Mathematics BSchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Undergraduate ResearchSchool of Fundamental Science and Engineering2019full year
Seminar in Applied Mathematics ASchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar in Applied Mathematics A [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar in Applied Mathematics BSchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar in Applied Mathematics B [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Research Project BSchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Research Project B [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Research Project CSchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Research Project C [S Grade]School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Research Project ASchool of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Research Project DSchool of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Master's Thesis (Department of Pure and Applied Mathematics)Graduate School of Fundamental Science and Engineering2019full year
Research on Algebraic GeometryGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019full year
Research on Algebraic GeometryGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019full year
Algebraic Geometry AGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Algebraic Geometry BGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar on Algebraic Geometry AGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar on Algebraic Geometry AGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar on Algebraic Geometry BGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar on Algebraic Geometry BGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar on Algebraic Geometry CGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar on Algebraic Geometry CGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019spring semester
Seminar on Algebraic Geometry DGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Seminar on Algebraic Geometry DGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019fall semester
Master's Thesis (Department of Pure and Applied Mathematics)Graduate School of Fundamental Science and Engineering2019full year
Research on Algebraic GeometryGraduate School of Fundamental Science and Engineering2019full year