氏名

ハシモト キイチロウ

橋本 喜一朗

職名

教授 (https://researchmap.jp/read0206537/)

所属

(基幹理工学部)

連絡先

URL等

研究者番号
90143370

本属以外の学内所属

兼担

理工学術院(大学院基幹理工学研究科)

学内研究所等

理工学総合研究センター

兼任研究員 1989年-2006年

理工学術院総合研究所(理工学研究所)

兼任研究員 2006年-2018年

理工学術院総合研究所(理工学研究所)

兼任研究員 2018年-

学歴・学位

学位

理学博士

所属学協会

日本数学会, AMS(American Mathematical Society)

研究分野

キーワード

ガロア理論、生成的多項式族、数論幾何学

科研費分類

数物系科学 / 数学 / 代数学

研究テーマ履歴

ガロア理論における生成的多項式族の構成とその数論研究

個人研究

論文

Families of cyclic polynomials obtained from geometric generalization of Gaussian period relations

Ki-ichiro Hashimoto and Akinari Hoshi

Mathematics of Computation74(251)p.1519 - 15302005年-

Geometric generalization of Gaussian period relations with application to Noether's problem for meta-cyclic groups

Ki-ichiro Hashimoto and Akinari Hoshi

Tokyo.J.Math.28(1)p.13 - 322005年-

Generic polynomials over Q with two parameters for the transitive groups of degree five

Ki-ichiro Hashimoto and Hiroshi Tsunogai

Proceedings of Japan Academy79A(9)p.148 - 1512003年-

Galoas Theory and Modular Forms

Ki-ichiro Hashimoto, Katsuya Miyake and Hiroaki Nakamula

Developments in Mathematics, Kluwer Acad. Publ.112003年-

Q-curves of rational j-invaritants and Jacobian surfaces of GL2-type

Galoas Theory and Modular Forms,DEVM 11, Kluwer Acad. Publ.112003年-

外部研究資金

科学研究費採択状況

研究種別:

代数体上の有限クレモナ変換群に対するネーター問題と数論への応用

配分額:¥13650000

研究種別:

Siegel modylar関数の特殊値とJaccbian variety

配分額:¥3400000

研究種別:

ガロア理論における生成的多項式族の構成とその数論研究

配分額:¥10400000

研究種別:

未踏数学の開拓と情報発信の高度化

配分額:¥45240000

研究種別:基盤研究(A)

代数学における保型形式的構造とゼータ関数の明示的研究

2001年-2004年

研究分野:代数学

配分額:¥40170000

研究種別:

Siegel modular関数の特殊値による単数群の構成

配分額:¥2700000

研究種別:

アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

配分額:¥2900000

研究種別:

ガロアの逆問題とその数論への応用

配分額:¥13200000

研究種別:

保型関数の特殊値による正規底の構成

配分額:¥1600000

研究種別:

代数曲線とヤコビ多様体の数論研究

配分額:¥3100000

研究種別:

モジュラー予想

配分額:¥3100000

研究種別:

四元数theta級数とモジュラー曲線のヤコビ多様体の数論研究

配分額:¥1100000

研究種別:

P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

配分額:¥2200000

研究種別:

P-進代数群の離散群とHecke環の表現の研究

配分額:¥2000000

研究種別:

無限次元リー群およびリー環の表現とその応用

配分額:¥1900000

研究種別:

単項化定理と関連する諸題目の研究

配分額:¥1900000

研究種別:

場の理論の数学

配分額:¥1900000

研究種別:

統計的漸近理論の研究

配分額:¥2000000

研究種別:

代数群上の保型函数論とP-進離散群の研究

配分額:¥2400000

研究種別:一般研究(C)

統計的漸近理論の研究

1986年-1987年

研究分野:数学一般

配分額:¥1300000

研究種別:

各種微分方程式の数理解析的研究

配分額:¥1200000

学内研究制度

特定課題研究

四元数環に付随する4種のtheta級数の数論研究

1997年度

研究成果概要:本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1. 2年前に筆者はType numberT(q, N)をlevelQn、重さ2の保型形式のうち、Atk...本研究では、有理数体上の正定置四元数環のlevel(q, N)のEichler型orderについて以下の様な諸問題を研究した:1. 2年前に筆者はType numberT(q, N)をlevelQn、重さ2の保型形式のうち、Atkin Lehner involution Wp(p|qN)の固有部分空間の次元と関係付ける公式を発見し、その証明を与えたが、の関係をEichler型ordersのtheta級数によってより具体的に実現する問題を研究した。2. 与えられたlevel(q, N)に対して、Eichler order の族δ(p s)がつねにT(q, N)個のEichler order の各同型類を尽くすであろう」という従来の予想がqN<15000の範囲内で検証された。3. qN<10000の範囲内で、各(q, N)に対してT(q, N)個のEicher orders から得られる4種類のtheta級数を計算し、その一次独立性を調べた。その結果これらのtheta級数の間に著しい関係が存在する事が明らかになった。これらのtheta級数たちが一次独立であることは、N=1、でq(q≡1 mod 4)が素数の場合に北岡の予想と呼ばれていたが、多くの反例があり、かつ一次従属の場合には、L-関数のs=1でのvanishingという興味深い現象と対応している。4. 3で求めたtheta級数の一次結合からNeben characterを持つcusp form f(z)でHecke作用素の同時固有関数となるものを得て、そのFourier係数を使って、jacobian varietyが志村のアーベル曲面Afと同種になる、種数2の代数曲線の方程式を求めた。研究成果の発表1) On modularity conjecture for Q-curves and QM-curves, (with Y. Hasegawa, F.Momose), International J. Math.1999.,to appear2) Q-curves of degree 5 and jacobian surfaces of GL2-type, Manuscripta Math. 1998, to appear.3)  2次体上の楕円曲線とGL(2)型アーベル曲面、1997年度日本数学会秋季総合分科会、総合講演・企画特別講演アブストラクト、72-81.4)  志村のアーベル曲面と種数2の代数曲線、1998早稲田大学整数論シンポジウム報告集、1998.

ガロアの逆問題の計算機による構成的研究

1998年度

研究成果概要: 与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal(K/k)がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難... 与えられた体kと有限群Gに対して、ガロア拡大K/kでそのガロア群Gal(K/k)がGと同型であるものが存在するかどうかを調べ、そのようなK/kを全て求める問題を「ガロアの逆問題」という。一般のGに対しては存在の証明すら未解決の難問である。一方、存在が知られている場合に全てを求める問題に関しては、そのガロア群がGと同型な既約多項式をパラメータ付きで構成し、全てのK/kがパラメータを特殊化することによって得られること(genericな多項式)を示すという手法が考えられる。本研究は、比較的簡単な非アーベル群である二面体群に対して、この手法を計算機の数式処理を利用して実行したもので、以下のような成果を得た:Dn:=<α, β|αn=β2=1, βαβ-1=α-1>(位数2nの二面体群;nは奇数)とする。このときcos (2π/n)∈kという条件の下で、cをパラメータとする多項式G (X; c):=Пn-1/j=0(X-ζjζj+1)+c (ζj :=ζ j-ζ-j/ζ-ζ-1)はk (c)上のn次既約多項式であり、そのガロア群はDnと同型になる(ζは1の原始n乗根)。さらに、G(X; c)はk上genericであることが判明した。これは、任意のDn-拡大K/kが以下の様な生成元xを持つ、というそれ自身興味深い定理を示すことにより証明される。α(x)=1/-x+ω' β(x)=1/x' (ω:=ζ+1/ζ).以上の結果はn=3の場合J. P. Serreにより知られていた事実を著しく一般化したものである。また応用として、k上のgenericなn次巡回多項式で極めて単純な形のものが得られる。与えられた代数体k上にアーベル拡大を構成する問題はHilbertの第12問題として知られる難問であるが、本研究はn次巡回拡大という特別な場合の一般解を与えるものである。

GL(2)型の代数曲線の構成と数論研究

1999年度

研究成果概要: 楕円曲線に対する「谷山-志村予想」は昨年完全な解決が得られ、その後の目標は高次元のアーベル多様体に対する予想の一般化に移行した。 Serre-Ribet により「アーベル多様体 A/Q が J_1(N) の Q-因子と同種となる... 楕円曲線に対する「谷山-志村予想」は昨年完全な解決が得られ、その後の目標は高次元のアーベル多様体に対する予想の一般化に移行した。 Serre-Ribet により「アーベル多様体 A/Q が J_1(N) の Q-因子と同種となる条件は、A が GL(2) 型であることである」という予想がある。本特定研究では GL(2) 型のアーベル多様体を組織的に構成分類するという、基本的なアプローチから研究を進めた。具体的な研究成果は以下の通りである:(1) 2 元 6 次形式 f(X,Y) の空間に於ける PGL(2)作用(対称テンソル表現)を調べ、楕円曲線の二重被覆をなす種数 2 の曲線の最も一般的な方程式族が得られた。この特殊化により、曲線族 C(j)でそのヤコビ多様体が 2 次体上では 不変量が j の Q-曲線の積に分解するものを具体的に構成した。その結果、j が有理数のとき、JacC(j) は 「擬 GL(2)型」なることが判明した。(2) 上記ヤコビ曲面 JacC(j)/Q は殆んどの j に対して modular であることを示し、対応する保型形式の Neben type character を決定した。(3) 以上の研究をモデルとして、有理数を j-不変量に持つ 2 次体 k 上の楕円曲線(Q-曲線)の数論に体する一般理論を構築した。即ち、その minimality および k 上の 2 次 twist に体する sign change という現象を明らかにした。特に、各 j に対して この様な Q-曲線の類と k を含む 4 次巡回体が 1 対 1 に対応することが示された。(4) 非自明な実指標を持つ 尖点形式 f(z)でその Fourier 係数の生成する体が 2 次体が ガウスの数体であるもの(N=37,65,104,157,397,877)に対して、志村のアーベル曲面 A(f)/Q のモデルとして Q上の種数 2 の代数曲線で ヤコビ多様体が A(f) と 代数体上同種なものを具体的に求め、対応する 尖点形式を 4 変数の正定値二次形式のテータ級数として具体的に求めた。(5) Q上の自己準同型環が 判別式 8 の二次体の整数環となる曲線の族を構成した。

モジュラー曲線Xo(N)とそのHecke代数対応の数論研究

2000年度

研究成果概要: 有理数体上の楕円曲線に関する「谷山―志村予想(Wilesの定理)」の一般化として、Serre-Ribetにより高次元のアーベル多様体に関して「アーベル多様体A/QがJO(N)のQ-因子と同種となる条件は、AがGL(2)型であるこ... 有理数体上の楕円曲線に関する「谷山―志村予想(Wilesの定理)」の一般化として、Serre-Ribetにより高次元のアーベル多様体に関して「アーベル多様体A/QがJO(N)のQ-因子と同種となる条件は、AがGL(2)型であることである」という予想が提唱されている。我々は、これまでの研究で、この予想および関連する問題を研究し、代数体上のQ-curveと呼ばれる楕円曲線や、種数2の代数曲線で、ヤコビ多様態が四元数上をもつもの(QM-curve)について、予想を証明した(中央大学の百瀬氏等との共同研究)。さらにGL(2)型の「アーベル多様体A/Qを組織的に構成・分類するという、具体的な研究を行ない、 (i)Jac(C)がGL(2)型となる代数曲線C/Qのパラメータ族の構成、 (ii)2次体上のQ-curveおよび、対応するGL(2)型アーベル曲面(Jac(C))の族を構成、 等々の結果を得た。本研究では、上記予想の一般証明の重要なステップとなる、モジュラー曲線XO(N)のHecke代数対応Hn(n=2,3,4,…)の代数曲線としての定義方程式を求め、合同関係式をXO(N)のmodularityに依存しない形で記述し、そのメカニズムを解明した。この結果の主要部は、理工学部助手の金山直樹氏との共同研究であり、論文にまとめる作業を継続中である。超楕円的なモジュラー曲線の場合に、小さなnにたいするHnの方程式については、1999年秋の日本数学会で発表済みである。 当初の目標はさらに、Hn自身をQ上の代数曲線とみてHasse-Weil L-関数を調べ、その解析接続と関数等式を研究することであったがこの課題については、2、3の特殊な例を扱うに留まった。モジュラー曲線の代数対応に対する、このような視点からの研究はこれまで皆無であり、極めて興味深い結果が期待でき、今後の大きな課題である。

アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

2001年度

研究成果概要:「ガロアの逆問題」の最終課題は 与えられた体 k に対して, 与えられた有限群 G をガロア群とするガロア拡大 K/k を全てを求める問題であるが, 簡単な構造を持つ群の場合でも満足な結果は殆ど知られていない. 本研究では, ${...「ガロアの逆問題」の最終課題は 与えられた体 k に対して, 与えられた有限群 G をガロア群とするガロア拡大 K/k を全てを求める問題であるが, 簡単な構造を持つ群の場合でも満足な結果は殆ど知られていない. 本研究では, ${\bf Q}$ 上の巡回方程式として基本的である「ガウス周期」の既約方程式を組織的に調べ, ${\ell}$ 次ガウス周期の既約方程式 $F_{\ell}(p;X)$ が, 前世紀半ばに Dickson により研究された「円分数」の行列の固有多項式として把握できることを解明, これを利用して巡回方程式の族を構成することを試みた. すなわち, ガウス周期の満たす性質の一部を公理として関数体上のモデルを構成することにより,このようなガウス周期から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし, これよりガウス周期がみたす種々の代数関係式を「円分数」の関係式性として解釈し, これを公理化して関数体上のモデルを構成することを試みた. その結果, ${\ell}=3,4,5,6,8$ の場合に, 複数個のパラメータ付きの巡回多項式族が比較的 simple な形(代数的整数論などへの応用も期待される)で得ることができた.

アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究

2002年度

研究成果概要:2000-2002 年度 基盤C(一般)「アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究」 において, 申請者の大学院生(修士)星 明考 君と共同研究で, ガウス周期の関係式の一部を幾何的に一般化し, 多変数関数体上の巡回多項式族の構...2000-2002 年度 基盤C(一般)「アーベル方程式の構成とガウス和の数論研究」 において, 申請者の大学院生(修士)星 明考 君と共同研究で, ガウス周期の関係式の一部を幾何的に一般化し, 多変数関数体上の巡回多項式族の構成を行った. ガウス周期の既約多項式については, E.Lehmerによって 次数 e=3,4,5,6,8 の場合に 簡単な表示をもつ 1パラメータの e 次巡回多項式族が知られていたが, 高次のガウス周期の既約多項式に対して同様な巡回多項式族を得ることは困難で, その背後にはガウス周期の情報を与えるヤコビ和が e=7 で本質的に二種類に増えることが起因している. この障害を解決する方法として, 我々はガウス周期の満たす関係式関数体上での類似物を構成するという幾何的一般化を行ない, これによりガウス周期の既約多項式から巡回多項式族が得られるしくみを明らかにし, パラメータの個数も複数個に増やすことに成功した.この構成法は, さらに高い次数の考察及び次数に対する一般化も期待される. この研究は 上記の Lehmer の仕事を拡張する F.Thaine の最近の研究にヒントを得て, それをさらに一般化したものである. また e > 3 に対してある条件を付加することにより, e=4,5,6,7,8 に対して e-[(e-3)/2]個のパラメータがついた e次巡回多項式族が得られることを示した. 特に, この構成から得られた巡回多項式族のパラメータを特殊化し, e=7 において定数項が n^7 である簡単な表示をもつ 1パラメータの族を得た:F_7(n;X)= X^7-(n^3+n^2+5n+6)X^6+3(3n^3+3n^2+8n+4)X^5 +(n^7+n^6+9n^5-5n^4-15n^3-22n^2-36n-8)X^4 -n(n^7+5n^6+12n^5+24n^4-6n^3 +2n^2-20n-16)X^3 + n^2(2n^6+7n^5+19n^4+14n^3+2n^2+8n-8)X^2 -n^4(n^4+4n^3+8n^2+4)X+n^7.  nとして(総実)代数体 K の単数を走らせると,F_7(n;X) が既約であればK の 7次巡回拡大の単数が得られる.これらの研究を更に高次の場合に進展させることは今後の重要な課題である.

代数体上の有限クレモナ変換群に対するネーター問題と数論への応用

2006年度共同研究者:小松 啓一

研究成果概要:(1) 「ネーター問題」の研究に関して, 6 次の可移置換群の有理関数体への 2 種類の作用について, 研究した. 6 次の可移置換群は共役を除いて全部で 16 個存在するが, そのような群 G の各々に対して, (i) 6 個の...(1) 「ネーター問題」の研究に関して, 6 次の可移置換群の有理関数体への 2 種類の作用について, 研究した. 6 次の可移置換群は共役を除いて全部で 16 個存在するが, そのような群 G の各々に対して, (i) 6 個の独立変数の置換作用に関する古典的なネーター問題および, (ii) それらの複比が生成する 3 変数有理関数体 Q(x,y,z)への G のクレモナ変換作用に関するネーター問題を考察し, これまでは未解決であった場合のうち, G=(6T10),(6T11),(6T14)について新手法によって固定体の生成元を構成し, 同問題を肯定的に解決した. (2) 6 次可移置換群のネーター問題と, 種数 2 の代数曲線のヤコビ多様体の 2 等分におけるガロア表現との関連について研究を進め, 2 次のジーゲルモジュラー群のレベル 2 の主合同部分群に対するジーゲル保型形式の次数付き環の商体に自然に引き起こされる商群 PGSp(2)= S_6 の作用が, 本研究と深く関連することを明らかにした. この見地から, とくに可移置換群の作用に関する固定体の幾何学的構造の研究が可能となった. (3) 種数 2 の代数曲線のヤコビ多様体の 3 等分におけるガロア表現についても同様な研究を進めた. 特に, 一般 5 次方程式から定まる種数 2 の代数曲線上の trigonal な関数を特徴付けることに成功し, これを用いてガロア表現の像が PGSp(3)になることを示し, その固定体を生成する40 次多項式を元の方程式の係数から求める簡明な手順を得た. (4) 研究集会「ガロア理論とその周辺」を徳島大学理学部において, 整数論研究集会を早稲田大学理工学部において開催し, この一年間の成果と今後の課題について討論した.

現在担当している科目

科目名開講学部・研究科開講年度学期
基礎の数学 基幹(4)-II基幹理工学部2020春学期
数学講究A基幹理工学部2020春学期
数学講究A  【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020春学期
数学講究B基幹理工学部2020秋学期
数学講究B  【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020秋学期
代数学E2基幹理工学部2020秋学期
数学特別講究A基幹理工学部2020春学期
数学特別講究B基幹理工学部2020秋学期
卒業研究基幹理工学部2020通年
応用数理概論基幹理工学部2020通年
応用数理概論  【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020通年
代数学基礎A基幹理工学部2020春学期
代数学基礎A 【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020春学期
応用数理講究A基幹理工学部2020春学期
応用数理講究A 【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020春学期
応用数理講究B基幹理工学部2020秋学期
応用数理講究B 【前年度成績S評価者用】基幹理工学部2020秋学期
数学とその歴史基幹理工学部2020秋学期
プロジェクト研究基幹理工学部2020通年
代数学基礎B基幹理工学部2020秋学期
Research Project B基幹理工学部2020春学期
Research Project B 【S Grade】基幹理工学部2020春学期
Research Project C基幹理工学部2020秋学期
Research Project C 【S Grade】基幹理工学部2020秋学期
Research Project A基幹理工学部2020秋学期
Applied Algebra基幹理工学部2020春学期
Number Theory基幹理工学部2020春学期
Research Project D基幹理工学部2020春学期
修士論文(数学応数)大学院基幹理工学研究科2020通年
Research on Number Theory and Special Functions大学院基幹理工学研究科2020通年
整数論・特殊関数研究大学院基幹理工学研究科2020通年
特殊関数の数理A大学院基幹理工学研究科2020秋学期
Seminar on Number Theory and Special Functions A大学院基幹理工学研究科2020春学期
整数論・特殊関数演習A大学院基幹理工学研究科2020春学期
Seminar on Number Theory and Special Functions B大学院基幹理工学研究科2020秋学期
整数論・特殊関数演習B大学院基幹理工学研究科2020秋学期
Seminar on Number Theory and Special Functions C大学院基幹理工学研究科2020春学期
整数論・特殊関数演習C大学院基幹理工学研究科2020春学期
Seminar on Number Theory and Special Functions D大学院基幹理工学研究科2020秋学期
整数論・特殊関数演習D大学院基幹理工学研究科2020秋学期
Master's Thesis (Department of Pure and Applied Mathematics)大学院基幹理工学研究科2020通年
整数論・特殊関数研究大学院基幹理工学研究科2020通年